\documentclass[12pt]{jsarticle}
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\begin{document}

\section{問題}
　豆腐を積み上げていったとき、豆腐は崩れてピラミッド状になる。このときのピラミッドの形状を答えよ。

\section{力のつり合いの式の立式}
　豆腐タワーの頂点を原点として下向きに$z$軸を設ける。水平面で切断した高さ$z$と$z+dz$の間微小豆腐塊にかかる力の釣り合いを考える。

　豆腐塊の上面にかかる力を$F$とすると、下面にかかる圧力はテイラー展開の2次以降の項を無視すると$\displaystyle F + \frac{\partial F}{\partial z} dz$となる。

　一方、豆腐塊の密度$\rho$が均一であると仮定し、高さ$z$における豆腐塊の平断面積を$A(z)$とすると、豆腐塊にかかるは$\rho A(z) g dz$となる。

　力のつり合いから豆腐塊の上面と下面にかかる力の差は豆腐塊にかかる重力なので式\eqref{eq:tsuriai1}が成り立つ。

\begin{align}
-\left( F +  \frac{\partial F}{\partial z} dz \right) + F + \rho A(z) g dz&= 0  \notag \\
\frac{\partial F}{\partial z} &= \rho A(z) g \label{eq:tsuriai1}\end{align}

　豆腐塊は下へ行くほど、上に乗る豆腐塊の力を受けるが、その力を豆腐塊は平断面積を広げることで支えていると仮定する。豆腐塊にかかる力$F$と平断面積$A$の比例定数$\sigma$は高さ$z$によらず一定とする（式\eqref{eq:stress}）。
\begin{equation}
F = \sigma A(z) \label{eq:stress}
\end{equation}

　これは一次元の応力の定義式と同じである。

　式\eqref{eq:stress}を式\eqref{eq:tsuriai1}に代入すると、式\eqref{eq:tsuriai2}となる。
\begin{equation}
\sigma \cdot \frac{\partial A(z)}{\partial z} = \rho A(z) g \label{eq:tsuriai2}
\end{equation}
　式\eqref{eq:tsuriai2}を$A$について解く。
\begin{align*}
\frac{\partial A(z)}{\partial z} &= \frac{\rho g}{\sigma} \cdot A(z) \notag \\
\frac{dA(z)}{A(z)} &= \frac{\rho g}{\sigma} dz \notag \\
\int \frac{dA(z)}{A(z)} &= \frac{\rho g}{\sigma} \int dz \notag \\
\ln A(z) &= \frac{\rho g z}{\sigma} + C \label{eq:tsuriai3}
\end{align*}
$C$は積分定数である。積分範囲は$z=0$から$z=z$までであり、$z=0$のとき$A=A_0$とすると、
\begin{align*}
\ln A(z) - \ln A_0 &=  \frac{\rho gz}{\sigma}  - \frac{\rho g \cdot 0}{\sigma} \\
A(z) &= \exp \left( \frac{\rho gz}{\sigma} -  \ln A_0 \right)
\end{align*}

　したがって高さ$z$が下がるにつれ、豆腐塊の平断面積$A$は指数関数で増えていく。

\section{解答}
　豆腐タワーの頂点から下向きに、面積が指数関数で表される形状になる。
\end{document}
