\documentclass[12pt]{jsarticle}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[dvipdfmx]{graphicx}
\begin{document}

%\title{東工大の問題}
%\author{中山有}
%\maketitle

\section{問題}
$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(  \frac{_{3n}C_n}{_{2n}C_n} \right)^{\frac{1}{n}}$を求めよ。

\section{式変形}
与式を$\displaystyle A_n = \left(  \frac{_{3n}C_n}{_{2n}C_n} \right)^{\frac{1}{n}}$とおく。

$\displaystyle _nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$なので、$\displaystyle _{3n}C_n = \frac{(3n)!}{n!(2n)!}$、$\displaystyle _{2n}C_n = \frac{(2n)!}{n!n!}$である。

これを$A_n$の式に代入すると式\eqref{eq:An}のようになる。
\begin{align}
A_n &= \left(  \frac{_{3n}C_n}{_{2n}C_n} \right)^{\frac{1}{n}} = \left(  \frac{\frac{(3n)!}{n!(2n)!}}{\frac{(2n)!}{n!n!}} \right)^{\frac{1}{n}} = \left(  \frac{\frac{(3n)!}{(2n)!}}{\frac{(2n)!}{n!}} \right)^{\frac{1}{n}} \notag \\
&= \left\{ \frac{3n \cdot (3n-1) \cdot (3n-2) \cdots (2n+1)}{2n \cdot (2n-1) \cdot (2n-2) \cdots (n+1)} \right\}^{\frac{1}{n}} \label{eq:An}
\end{align}

式\eqref{eq:An}の自然対数をとると積を和にできる。

\begin{align}
\ln A_n &= \ln \left\{ \frac{3n \cdot (3n-1) \cdot (3n-2) \cdots (2n+1)}{2n \cdot (2n-1) \cdot (2n-2) \cdots (n+1)} \right\}^{\frac{1}{n}} \notag \\
&= \frac{1}{n} \left( \ln \frac{3n}{2n} + \ln \frac{3n-1}{2n-1} + \ln \frac{3n-2}{2n-2} + \cdots + \ln \frac{2n+1}{n+1}  \right) \notag \\
&= \frac{1}{n} \sum _{k=1}^n \ln \frac{2n+k}{n+k} \notag \\
&= \frac{1}{n} \sum _{k=1}^n \ln \frac{2+\frac{k}{n}}{1+\frac{k}{n}} \label{eq:lnAn}
\end{align}

式\eqref{eq:lnAn}の$n \to \infty$の極限をとると区分求積法の形になる。

\begin{align}
\lim_{n \to \infty} \ln A_n
&= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum _{k=1}^n \ln \frac{2+\frac{k}{n}}{1+\frac{k}{n}} \notag \\
&= \int _0^1 \ln \frac{2+x}{1+x} dx \label{eq:limlnAn}
\end{align}

式\eqref{eq:limlnAn}の計算を続けていく。

\begin{align}
\lim_{n \to \infty} \ln A_n
&= \int _0^1 \ln \frac{2+x}{1+x} dx \notag \\
&= \int _0^1 \left\{ \ln (2+x) - \ln(1+x) \right\} dx \notag \\
&= \left[ (2+x)\ln(2+x) - (2+x) - (1+x)\ln(1+x) + (1+x) \right]_0^1 \notag \\
&= \left( 3\ln3 - 3 -2\ln2 + 2 \right) - \left( 2\ln2 - 2 -1\ln1 + 1 \right) \notag \\
&= 3\ln3 - 4\ln2  \notag \\
&= \ln \frac{3^3}{2^4} \notag \\
&= \ln \frac{27}{16} \label{eq:calc}
\end{align}

両辺から自然対数を外す。
\begin{equation*}
\lim_{n \to \infty} A_n = \frac{27}{16}
\end{equation*}

したがって、 $n \to \infty$のとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(  \frac{_{3n}C_n}{_{2n}C_n} \right)^{\frac{1}{n}} = \frac{27}{16}$となる。

\end{document}
