\documentclass[12pt]{jsarticle}
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\begin{document}

%\title{東工大の問題}
%\author{中山有}
%\maketitle

\section{問題}
$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(  \frac{_{3n}C_n}{_{2n}C_n} \right)^{\frac{1}{n}}$を求めよ。

\section{式変形}
与式を$\displaystyle A_n = \left(  \frac{_{3n}C_n}{_{2n}C_n} \right)^{\frac{1}{n}}$とおく。

$\displaystyle _nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$なので、$\displaystyle _{3n}C_n = \frac{(3n)!}{n!(2n)!}$、$\displaystyle _{2n}C_n = \frac{(2n)!}{n!n!}$である。

これを$A_n$の式に代入すると式\eqref{eq:barashita}のようになる。
\begin{equation}
A_n = \left(  \frac{_{3n}C_n}{_{2n}C_n} \right)^{\frac{1}{n}} = \left(  \frac{\frac{(3n)!}{n!(2n)!}}{\frac{(2n)!}{n!n!}} \right)^{\frac{1}{n}} = \left(  \frac{(3n)!n!}{(2n)!(2n)!} \right)^{\frac{1}{n}}  \label{eq:barashita}
\end{equation}

\section{補題}
$a$を自然数として、十分大きい$n$に対して$a^{an} < (an)! < (an)^{an}$を以下に示す。

\subsection{$a^{an} < (an)! $を示す}
\begin{equation*}
\frac{a^{an} }{(an)!} = \frac{\overbrace{a \cdot a \cdot a \cdots a \cdot a}^{an}}{\underbrace{an \cdot (an-1) \cdot (an-2) \cdots 2 \cdot 1}_{an}}
\end{equation*}
分子分母を$a^n$で割ると、
\begin{equation*}
\frac{a^{an} }{(an)!} = \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{\left( n - \frac{1}{a}\right)} \cdot \frac{1}{\left( n - \frac{2}{a}\right)} \cdots \frac{1}{\frac{2}{a}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{a}}
\end{equation*}
$n \gg a$のとき、$\displaystyle \frac{1}{\left( n - \frac{k}{a}\right)} <1$（$k$は自然数）なので、
\begin{equation*}
\frac{a^{an} }{(an)!} <1
\end{equation*}
となる。したがって、十分大きな$n$に対して$a^{an} < (an)! $である。

\subsection{$ (an)! < (an)^{an}$を示す}

\begin{align*}
\frac{(an)!}{(an)^{an}} &= \frac{\overbrace{an \cdot (an-1) \cdot (an-2) \cdots 2 \cdot 1}^{an}}{\underbrace{an \cdot an \cdot an \cdots an \cdot an}_{an}} \\
&= \frac{an}{an} \cdot \frac{an-1}{an} \cdot \frac{an-2}{an} \cdots \frac{2}{an} \cdot \frac{1}{an}
\end{align*}
$a>1$、$n>1$なので、$\displaystyle \frac{an-k}{an} <1$（$k$は自然数）であり、$\displaystyle \frac{(an)!}{(an)^{an}} < 1$となる。

したがって、$ (an)! < (an)^{an}$である。

\section{はさみうちの原理}

十分大きい$n$に対して$a^{an} < (an)! < (an)^{an}$が示された。
このとき、式\eqref{eq:hasamiuchi}が成り立つ。
\begin{equation}
\left(  \frac{3^{3n}\cdot 1^n}{2^{2n} \cdot 2^{2n}} \right)^{\frac{1}{n}} < \left(  \frac{(3n)!n!}{(2n)!(2n)!} \right)^{\frac{1}{n}} < \left(  \frac{(3n)^{3n}\cdot n^n}{(2n)^{2n} \cdot (2n)^{2n}} \right)^{\frac{1}{n}} \label{eq:hasamiuchi}
\end{equation}

式\eqref{eq:hasamiuchi}の左辺は式\eqref{eq:sahen}のように変形できる。
\begin{equation}
\left(  \frac{3^{3n}\cdot 1^n}{2^{2n} \cdot 2^{2n}} \right)^{\frac{1}{n}} = \frac{3^3 \cdot 1^1}{2^2 \cdot 2^2} = \frac{27}{16} \label{eq:sahen}
\end{equation}

式\eqref{eq:hasamiuchi}の右辺は式\eqref{eq:uhen}のように変形できる。
\begin{equation}
\left(  \frac{(3n)^{3n}\cdot n^n}{(2n)^{2n} \cdot (2n)^{2n}} \right)^{\frac{1}{n}} = \frac{(3n)^3\cdot n}{(2n)^2 \cdot (2n)^2} = \frac{27}{16}
\label{eq:uhen}
\end{equation}

はさみうちの原理により$n \to \infty$のとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(  \frac{_{3n}C_n}{_{2n}C_n} \right)^{\frac{1}{n}} = \frac{27}{16}$となる。

\end{document}
