1 問題

lim_{n→∞} (\frac{_{3n}C_{n}}{_{2n}C_{n}} )^{\frac{1}{n}} を求めよ。

2 式変形

与式を A_{n} = (\frac{_{3n}C_{n}}{_{2n}C_{n}} )^{\frac{1}{n}} とおく。

nC_{r} = \frac{n!}{r!(n − r)!} なので、_{3n}C_{n} = \frac{(3n)!}{n!(2n)!}、_{2n}C_{n} = \frac{(2n)!}{n!n!} である。

これを A_{n} の式に代入すると式 (1) のようになる。

A_{n} = (\frac{_{3n}C_{n}}{_{2n}C_{n}} )^{\frac{1}{n}} = ( \frac{\frac{(3n)!}{n!(2n)!}}{\frac{(2n)!}{n!n!}} )^{\frac{1}{n}} = (\frac{(3n)!n!}{(2n)!(2n)!})^{\frac{1}{n}}  (1)

3 補題

a を自然数として、十分大きい n に対して a^{an} < (an)! < (an)^{an} を以下に示す。

3.1 a^{an} < (an)! を示す

\frac{a^{an}}{(an)!} = \frac{\overbrace{a · a · a ⋯ a · a}^{an}}{\underbrace{an · (an − 1) · (an − 2) ⋯ 2 · 1}_{an}}

分子分母を a^{n} で割ると、

\frac{a^{an}}{(an)!} = \frac{1}{n} · \frac{1}{(n − \frac{1}{a})} · \frac{1}{(n − \frac{2}{a})} ⋯ \frac{1}{\frac{2}{a}} · \frac{1}{\frac{1}{a}}

n ≫ a のとき、\frac{1}{(n − \frac{k}{a})} < 1 （k は自然数）なので、

\frac{a^{an}}{(an)!} < 1

となる。したがって、十分大きな n に対して a^{an} < (an)! である。

3.2 (an)! < (an)^{an} を示す

\frac{(an)!}{(an)^{an}} = \frac{\overbrace{an · (an − 1) · (an − 2) ⋯ 2 · 1}^{an}}{\underbrace{an · an · an ⋯ an · an}_{an}}

= \frac{an}{an} · \frac{an − 1}{an} · \frac{an − 2}{an} ⋯ \frac{2}{an} · \frac{1}{an}

a > 1、 n > 1 なので、\frac{an − k}{an} < 1 （k は自然数）であり、\frac{(an)!}{(an)^{an}} < 1 となる。

したがって、 (an)! < (an)^{an} である。

4 はさみうちの原理

十分大きい n に対して a^{an} < (an)! < (an)^{an} が示された。このとき、式 (2) が成り立つ。

(\frac{3^{3n} · 1^{n}}{2^{2n} · 2^{2n}} )^{\frac{1}{n}} < (\frac{(3n)!n!}{(2n)!(2n)!})^{\frac{1}{n}} < (\frac{(3n)^{3n} · n^{n}}{(2n)^{2n} · (2n)^{2n}} )^{\frac{1}{n}}  (2)

式 (2) の左辺は式 (3) のように変形できる。

(\frac{3^{3n} · 1^{n}}{2^{2n} · 2^{2n}} )^{\frac{1}{n}} = \frac{3^{3} · 1^{1}}{2^{2} · 2^{2}} = \frac{27}{16}  (3)

式 (2) の右辺は式 (4) のように変形できる。

(\frac{(3n)^{3n} · n^{n}}{(2n)^{2n} · (2n)^{2n}} )^{\frac{1}{n}} = \frac{(3n)^{3} · n}{(2n)^{2} · (2n)^{2}} = \frac{27}{16}  (4)

はさみうちの原理により n → ∞ のとき lim_{n→∞} (\frac{_{3n}C_{n}}{_{2n}C_{n}} )^{\frac{1}{n}} = \frac{27}{16} となる。