\documentclass[12pt]{jsarticle}
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\begin{document}

%\title{フィボナッチ数列と黄金比}
%\author{中山有}
%\maketitle

\section{問題}
$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(  \frac{_{3n}C_n}{_{2n}C_n} \right)^{\frac{1}{n}}$を求めよ。

\section{式変形}
与式を$\displaystyle A_n = \left(  \frac{_{3n}C_n}{_{2n}C_n} \right)^{\frac{1}{n}}$とおく。

$\displaystyle _nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$なので、$\displaystyle _{3n}C_n = \frac{(3n)!}{n!(2n)!}$、$\displaystyle _{2n}C_n = \frac{(2n)!}{n!n!}$である。

これを$A_n$の式に代入すると\eqref{eq:barashita}のようになる。
\begin{align}
\left(  \frac{_{3n}C_n}{_{2n}C_n} \right)^{\frac{1}{n}} &= \left(  \frac{\frac{(3n)!}{n!(2n)!}}{\frac{(2n)!}{n!n!}} \right)^{\frac{1}{n}}\notag \\
&= \left(  \frac{\frac{(3n)!}{(2n)!}}{\frac{(2n)!}{n!}} \right)^{\frac{1}{n}} \label{eq:bunsuu} \\
&= \left\{  \frac{3n \cdot (3n-1) \cdot (3n-2) \cdots (2n+1)}{2n \cdot (2n-1) \cdot (2n-2) \cdots (n+1)} \right\}^{\frac{1}{n}}\label{eq:barashita}
\end{align}

\section{$n=4$まで計算}
傾向をつかむため、$n=4$まで$A_n$を計算してみる。
\subsection{$n=1$のとき}
\begin{equation*}
\left(  \frac{_3C_1}{_2C_1} \right)^{\frac{1}{n}} = \left( \frac{3}{2} \right)^{\frac{1}{1}} = 1.5 
\end{equation*}

\subsection{$n=2$のとき}
\begin{equation*}
\left(  \frac{_6C_2}{_4C_2} \right)^{\frac{1}{2}} = \left( \frac{6 \cdot 5}{4 \cdot 3} \right)^{\frac{1}{2}} = \left( \frac{5}{2} \right)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{5}{2}}
\end{equation*}

\subsection{$n=3$のとき}
\begin{equation*}
\left(  \frac{_9C_3}{_6C_3} \right)^{\frac{1}{3}} = \left( \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{6 \cdot 5 \cdot 4} \right)^{\frac{1}{3}} = \left( \frac{21}{5} \right)^{\frac{1}{3}}
\end{equation*}

\subsection{$n=4$のとき}
\begin{equation*}
\left(  \frac{_{12}C_4}{_8C_4} \right)^{\frac{1}{4}} = \left( \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5} \right)^{\frac{1}{4}} = \left( \frac{9 \cdot 11}{4 \cdot 7} \right)^{\frac{1}{4}} = \left( \frac{3}{2} \right)^{\frac{1}{2}} \cdot \left( \frac{11}{7} \right)^{\frac{1}{4}}
\end{equation*}

\section{Grapherであたりをつける}
傾向をつかもうと思ったが、大小関係がよく分からないのでMacOS X 付属のGrapher.appでおおまかにあたりを付ける。

その前に式\eqref{eq:bunsuu}を式\eqref{eq:henkei}に変形する。
\begin{equation}
\left(  \frac{_{3n}C_n}{_{2n}C_n} \right)^{\frac{1}{n}}  = \left(  \frac{\frac{(3n)!}{(2n)!}}{\frac{(2n)!}{n!}} \right)^{\frac{1}{n}} = \left(  \frac{(3n)!n!}{(2n)!(2n)!} \right)^{\frac{1}{n}} \label{eq:henkei}
\end{equation}

\begin{figure}[htbp]
\begin{center}
\includegraphics[width=15cm, clip]{nyuushi-graph.pdf}
\caption{grapher.appで計算した結果}
\label{fig:grapher}
\end{center}
\end{figure}

図\ref{fig:grapher}を見ると、$n\to \infty$のとき、$A_n=1.6 \sim 1.7$あたりに収束しそうだ。

\section{はさみうちの関数を考える}
階乗をはさみうちする関数なんて知らない。とりあえず、$a$を自然数として、十分大きい$n$に対して$a^n < (an)! < (an)^{an}$が成り立つとする。めんどうだから証明はしないけど、合っているかどうかもあやしい。

このとき、式\eqref{eq:hasamiuchi}が成り立つ。
\begin{equation}
\left(  \frac{3^n\cdot 1^n}{2^n \cdot 2^n} \right)^{\frac{1}{n}} < \left(  \frac{(3n)!n!}{(2n)!(2n)!} \right)^{\frac{1}{n}} < \left(  \frac{(3n)^{3n}\cdot n^n}{(2n)^{2n} \cdot (2n)^{2n}} \right)^{\frac{1}{n}} \label{eq:hasamiuchi}
\end{equation}

式\eqref{eq:hasamiuchi}の左辺は式\eqref{eq:sahen}のように変形できる。
\begin{equation}
\left(  \frac{3^n\cdot 1^n}{2^n \cdot 2^n} \right)^{\frac{1}{n}} = \frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 2} = \frac{3}{4} \label{eq:sahen}
\end{equation}

式\eqref{eq:hasamiuchi}の右辺は式\eqref{eq:uhen}のように変形できる。
\begin{equation}
\left(  \frac{(3n)^{3n}\cdot n^n}{(2n)^{2n} \cdot (2n)^{2n}} \right)^{\frac{1}{n}} = \frac{(3n)^3\cdot n}{(2n)^2 \cdot (2n)^2} = \frac{27}{16} = 1.6875
\label{eq:uhen}
\end{equation}

右辺の値はgrapher.appで見た$A_n \to 1.6 \sim 1.7$にかなり近い。たぶん正解だろう。

しかし、左辺の値は3/4と$A_1$よりも小さいのではさみうちには使えない。左辺の式をうまく考えてやれば$A_n \to 1.6875$となると思うのだが、その式が思い浮かばない。

たぶん階乗をはさむ関数を知っているか知らないかの知識問題なのだろうが、ちょっと悔しい。
\end{document}
