1 問題

lim_{n→∞} (\frac{_{3n}C_{n}}{_{2n}C_{n}} )^{\frac{1}{n}} を求めよ。

2 式変形

与式を A_{n} = (\frac{_{3n}C_{n}}{_{2n}C_{n}} )^{\frac{1}{n}} とおく。

nC_{r} = \frac{n!}{r!(n − r)!} なので、_{3n}C_{n} = \frac{(3n)!}{n!(2n)!}、_{2n}C_{n} = \frac{(2n)!}{n!n!} である。

これを A_{n} の式に代入すると (??) のようになる。

(\frac{_{3n}C_{n}}{_{2n}C_{n}} )^{\frac{1}{n}} = ( \frac{\frac{(3n)!}{n!(2n)!}}{\frac{(2n)!}{n!n!}} )^{\frac{1}{n}}
= ( \frac{\frac{(3n)!}{(2n)!}}{\frac{(2n)!}{n!}} )^{\frac{1}{n}}  (1)
= \{\frac{3n · (3n − 1) · (3n − 2) ⋯ (2n + 1)}{2n · (2n − 1) · (2n − 2) ⋯ (n + 1)}\}^{\frac{1}{n}}  (2)

3 n = 4 まで計算

傾向をつかむため、 n = 4 まで A_{n} を計算してみる。

3.1 n = 1 のとき

(\frac{_{3}C_{1}}{_{2}C_{1}} )^{\frac{1}{n}} = (\frac{3}{2})^{\frac{1}{1}} = 1.5

3.2 n = 2 のとき

(\frac{_{6}C_{2}}{_{4}C_{2}} )^{\frac{1}{2}} = (\frac{6 · 5}{4 · 3})^{\frac{1}{2}} = (\frac{5}{2})^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{5}{2}}

3.3 n = 3 のとき

(\frac{_{9}C_{3}}{_{6}C_{3}} )^{\frac{1}{3}} = (\frac{9 · 8 · 7}{6 · 5 · 4})^{\frac{1}{3}} = (\frac{21}{5})^{\frac{1}{3}}

3.4 n = 4 のとき

(\frac{_{12}C_{4}}{_{8}C_{4}} )^{\frac{1}{4}} = (\frac{12 · 11 · 10 · 9}{8 · 7 · 6 · 5})^{\frac{1}{4}} = (\frac{9 · 11}{4 · 7})^{\frac{1}{4}} = (\frac{3}{2})^{\frac{1}{2}} · (\frac{11}{7})^{\frac{1}{4}}

4 Grapher であたりをつける

傾向をつかもうと思ったが、大小関係がよく分からないので MacOS X 付属の Grapher.app でおおまかにあたりを付ける。

その前に式 (??) を式 (??) に変形する。

(\frac{_{3n}C_{n}}{_{2n}C_{n}} )^{\frac{1}{n}} = ( \frac{\frac{(3n)!}{(2n)!}}{\frac{(2n)!}{n!}} )^{\frac{1}{n}} = (\frac{(3n)!n!}{(2n)!(2n)!})^{\frac{1}{n}}  (3)

図??を見ると、 n → ∞ のとき、 A_{n} = 1.6 ∼ 1.7 あたりに収束しそうだ。

5 はさみうちの関数を考える

階乗をはさみうちする関数なんて知らない。とりあえず、 a を自然数として、十分大きい n に対して a^{n} < (an)! < (an)^{an} が成り立つとする。めんどうだから証明はしないけど、合っているかどうかもあやしい。

このとき、式 (??) が成り立つ。

(\frac{3^{n} · 1^{n}}{2^{n} · 2^{n}} )^{\frac{1}{n}} < (\frac{(3n)!n!}{(2n)!(2n)!})^{\frac{1}{n}} < (\frac{(3n)^{3n} · n^{n}}{(2n)^{2n} · (2n)^{2n}} )^{\frac{1}{n}}  (4)

式 (??) の左辺は式 (??) のように変形できる。

(\frac{3^{n} · 1^{n}}{2^{n} · 2^{n}} )^{\frac{1}{n}} = \frac{3 · 1}{2 · 2} = \frac{3}{4}  (5)

図 1 grapher.app で計算した結果

式 (??) の右辺は式 (??) のように変形できる。

(\frac{(3n)^{3n} · n^{n}}{(2n)^{2n} · (2n)^{2n}} )^{\frac{1}{n}} = \frac{(3n)^{3} · n}{(2n)^{2} · (2n)^{2}} = \frac{27}{16} = 1.6875  (6)

右辺の値は grapher.app で見た A_{n} → 1.6 ∼ 1.7 にかなり近い。たぶん正解だろう。しかし、左辺の値は 3/4 と A_{1} よりも小さいのではさみうちには使えない。左辺の式を

うまく考えてやれば A_{n} → 1.6875 となると思うのだが、その式が思い浮かばない。

たぶん階乗をはさむ関数を知っているか知らないかの知識問題なのだろうが、ちょっと悔しい。