\documentclass[12pt]{jsarticle}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[dvipdfmx]{graphicx}
\begin{document}

\section{問題}
ブランコを立ちこぎしながら靴を飛ばすことを考える。
靴の飛距離が最も長くなるようなブランコの振れ幅を求めよ。

\section{条件設定}
\begin{enumerate}
\item 靴の射出速度は射出時のブランコの速度と同じとする。
\item ブランコの最大振れ幅を鉛直線に対して90°とする。
\item 重力加速度を$g$とする。
\end{enumerate}

\begin{figure}[htbp]
\begin{center}
\includegraphics*[width=13cm]{buranko-fig.pdf}
\caption{ブランコから射出する靴の軌道}
\label{fig: buranko-fig}
\end{center}
\end{figure}

\section{解答}
\subsection{靴を射出するまで}
ブランコのチェーンの長さを$l$、鉛直線に対するブランコの振れ幅を$\theta$、ブランコの板と乗る人と靴の質量を$M$とする。また、靴の射出速度を$v_1$、靴を射出する瞬間のブランコの高さを$h_1$とする。

ブランコが最高点に達したときの地上からの高さを$h_0$とすると、エネルギー保存の法則から式\eqref{eq:ene1}が導ける。
\begin{equation}
\frac{1}{2}Mv_1^2 + Mgh_1 = 0 + Mgh_0 \label{eq:ene1}
\end{equation}

式\eqref{eq:ene1}を$v_1$について解く。
\begin{equation}
v_1 = \sqrt{2g(h_0 - h_1)} \label{eq:v1}
\end{equation}

式\eqref{eq:v1}より、$h_0$が大きければ大きいほど靴の射出速度$v_1$が大きくなるのがわかる。
ここで、条件設定1から靴の射出速度$v_1$はブランコの速度と同じであるため、$h_0$が大きければ大きいほど射出速度$v_1$は大きくなり、ひいては飛距離が伸びる。

計算を簡略化させるため、条件設定2の最大振れ幅を採用し、$h_0 = l$とする。このとき、式\eqref{eq:v1}は次の式\eqref{eq:v1_2}になる。

\begin{equation}
v_1 = \sqrt{2g(l - h_1)} \label{eq:v1_2}
\end{equation}

さらに、幾何的に$h_1 = l(1-\cos \theta)$なので、

\begin{equation}
v_1 = \sqrt{2gl \cos \theta} \label{eq:v1_3}
\end{equation}

となる。靴射出時のブランコ最下点からの水平距離$x_1$は同様に幾何的に
\begin{equation}
x_1 = l \sin \theta \label{eq:x1}
\end{equation}

\subsection{靴を射出してから最高点に達するまで}
靴を射出してから最高点に達するまでの時間を$t_2$とする。鉛直方向の速度について式\eqref{eq:t2}が成り立つ。
\begin{align}
v_1 \sin \theta - gt_2 &= 0 \notag \\
t_2 &= \frac{v_1 \sin \theta}{g} \label{eq:t2}
\end{align}

水平方向に対しては等速運動であるため、式\eqref{eq:x2}が成り立つ。
\begin{align}
x_2 &= v_1 \cos \theta \cdot t_2 \notag \\
&= \frac{v_1^2 \sin \theta \cos \theta}{g} \label{eq:x2}
\end{align}

靴が最高点に達したときの高さ$h_2$は式\eqref{eq:h2}で表される。
\begin{equation}
h_2 = h_1 + v_1 \sin \theta \cdot t_2 - \frac{1}{2}gt_2^2 \label{eq:h2}
\end{equation}

\subsection{靴が最高点に達してから地面に着地するまで}
靴が最高点に達してから地面に着地するまでの時間を$h_3$とする。鉛直方向の高さについて式\eqref{eq:t3}が成り立つ。
\begin{align}
h_2 - \frac{1}{2}gt_3^2 &= 0 \notag \\
t_3 &= \sqrt{\frac{2h_2}{g}} \label{eq:t3}
\end{align}

水平方向に対しては等速運動であるため、式\eqref{eq:x3}が成り立つ。
\begin{align}
x_3 &= v_1 \cos \theta \cdot t_3 \notag \\
&= v_1 \cos \theta \cdot \sqrt{\frac{2h_2}{g}} \label{eq:x3}
\end{align}

\subsection{ひたすら計算する}
靴の飛距離は式\eqref{eq:x_1}で表される。
\begin{equation}
x = x_1 + x_2 + x_3 \label{eq:x_1}
\end{equation}
足し算する前に$x_2$と$x_3$の計算を進める。

式\eqref{eq:x2}に式\eqref{eq:v1_3}\quad $v_1 = \sqrt{2gl \cos \theta}$を代入する。
\begin{align}
x_2 &= \frac{v_1^2 \sin \theta \cos \theta}{g} \notag \\
&= \frac{2gl \cos \theta \cdot \sin \theta \cos \theta}{g} \notag \\
&= \frac{2gl \sin \theta \cos ^2 \theta}{g} \label{eq:x2_3}
\end{align}

式\eqref{eq:x3}に式\eqref{eq:h2}\quad $h_2 = h_1 + v_1 \sin \theta \cdot t_2 - \frac{1}{2}gt_2^2$を代入する。
\begin{align}
x_3 &= v_1 \cos \theta \cdot \sqrt{\frac{2h_2}{g}} \notag \\
&= v_1 \cos \theta \cdot \sqrt{\frac{2(h_1 + v_1 \sin \theta \cdot t_2 - \frac{1}{2}gt_2^2)}{g}} \label{eq:x3_2}
\end{align}
式\eqref{eq:x3_2}に式\eqref{eq:t2}\quad $t_2 = \frac{v_1 \sin \theta}{g}$を代入する。
\begin{align}
x_3 &= v_1 \cos \theta \cdot \sqrt{\frac{2(h_1 + v_1 \sin \theta \cdot t_2 - \frac{1}{2}gt_2^2)}{g}}  \notag \\
&= v_1 \cos \theta \cdot \sqrt{\frac{2(h_1 + v_1 \sin \theta \cdot \frac{v_1 \sin \theta}{g} - \frac{1}{2}g\frac{v_1^2 \sin ^2 \theta}{g^2})}{g}} \notag \\
&= v_1 \cos \theta \cdot \sqrt{\frac{2(h_1 + \frac{v_1^2 \sin ^2 \theta}{g} - \frac{v_1^2 \sin ^2 \theta}{2g})}{g}} \notag \\
&= v_1 \cos \theta \cdot \sqrt{\frac{2(h_1 + \frac{v_1^2 \sin ^2 \theta}{2g})}{g}} \notag \\
&= v_1 \cos \theta \cdot \frac{1}{g} \sqrt{2gh_1 + v_1^2 \sin ^2 \theta} \label{eq:x3_3}
\end{align}

$\sqrt{\quad}$の中に$h_1 = l(1-\cos \theta)$、式\eqref{eq:v1_3}\quad $v_1 = \sqrt{2gl \cos \theta}$を代入する。
\begin{align}
x_3 &= v_1 \cos \theta \cdot \frac{1}{g} \sqrt{2gh_1 + v_1^2 \sin ^2 \theta} \notag \\
&= v_1 \cos \theta \cdot \frac{1}{g} \sqrt{2gl(1-\cos \theta) + 2gl \cos \theta \cdot \sin ^2 \theta}  \notag \\
&= v_1 \cos \theta \cdot \frac{1}{g} \sqrt{2gl(1-\cos \theta + \cos \theta \cdot \sin ^2 \theta)} \label{eq:x3_4}
\end{align}

$\sqrt{\quad}$の外にも式\eqref{eq:v1_3}\quad $v_1 = \sqrt{2gl \cos \theta}$を代入する。
\begin{align}
x_3 &= v_1 \cos \theta \cdot \frac{1}{g} \sqrt{2gl(1-\cos \theta + \cos \theta \cdot \sin ^2 \theta)} \notag \\
&= \sqrt{2gl \cos \theta} \cdot \cos \theta \cdot \frac{1}{g} \sqrt{2gl(1-\cos \theta + \cos \theta \cdot \sin ^2 \theta)}  \notag \\
&= 2l \cos \theta \sqrt{\cos \theta \cdot (1-\cos \theta + \cos \theta \cdot \sin ^2 \theta)} \label{eq:x3_5}
\end{align}

\subsection{飛距離の計算}
式\eqref{eq:x_1}に$x_2$、$x_3$を代入し、靴の飛距離を計算する。
\begin{align}
x &= x_1 + x_2 + x_3 \notag \\
&= l\sin \theta + \frac{2gl \sin \theta \cos ^2 \theta}{g} + 2l \cos \theta \sqrt{\cos \theta \cdot (1-\cos \theta + \cos \theta \cdot \sin ^2 \theta)} \notag \\
&= l \left[ \sin \theta + \frac{2g \sin \theta \cos ^2 \theta}{g} + 2 \cos \theta \sqrt{\cos \theta \cdot (1-\cos \theta + \cos \theta \cdot \sin ^2 \theta)} \right] \label{eq:x_2}
\end{align}

\subsection{飛距離が最大となるブランコの振れ幅}
式\eqref{eq:x_2}が最大となる$\theta$はたぶん代数的に解けないので、数値計算で解く。ソフトウェアにはMac OS X 付属のGrapherを使用する。

\begin{figure}[htbp]
\begin{center}
\includegraphics*[width=13cm]{buranko-graph.pdf}
\caption{ブランコの振れ幅$\theta $（グラフ上では横軸$x$）と飛距離$x$（グラフ上では縦軸$y$）の関係}
\label{fig: buranko-graph}
\end{center}
\end{figure}

グラフ上では式\eqref{eq:x_2}を$l$で割って無次元化している。また、ブランコの振れ幅を$0<\theta <\frac{\pi}{2}$に制限しているため、$x=\frac{\pi}{2}$のグラフを表示している。

結果として$\theta = 0.6296 $[rad]=$36.29$[deg]のとき、最大値$x=3.2088l$まで靴が飛ぶことが分かる。

\section{結論}
$\theta = 0.6296 $[rad]=$36.29$[deg]のとき、最大値$x=3.2088l$まで靴が飛ぶ。
\end{document}
