1 問題

ブランコを立ちこぎしながら靴を飛ばすことを考える。靴の飛距離が最も長くなるようなブランコの振れ幅を求めよ。

2 条件設定

1. 靴の射出速度は射出時のブランコの速度と同じとする。

2. ブランコの最大振れ幅を鉛直線に対して 90°とする。

3. 重力加速度を g とする。

図 1 ブランコから射出する靴の軌道

3 解答

3.1 靴を射出するまで

ブランコのチェーンの長さを l、鉛直線に対するブランコの振れ幅を θ、ブランコの板と乗る人と靴の質量を M とする。また、靴の射出速度を v_{1}、靴を射出する瞬間のブランコの高さを h_{1} とする。

ブランコが最高点に達したときの地上からの高さを h_{0} とすると、エネルギー保存の法則から式 (1) が導ける。

\frac{1}{2}Mv_{1}^{2} + Mgh_{1} = 0 + Mgh_{0}  (1)

式 (1) を v_{1} について解く。

v_{1} = \sqrt{2g(h_{0} − h_{1})}  (2)

式 (2) より、 h_{0} が大きければ大きいほど靴の射出速度 v_{1} が大きくなるのがわかる。ここで、条件設定 1 から靴の射出速度 v_{1} はブランコの速度と同じであるため、 h_{0} が大きければ大きいほど射出速度 v_{1} は大きくなり、ひいては飛距離が伸びる。

計算を簡略化させるため、条件設定 2 の最大振れ幅を採用し、 h_{0} = l とする。このとき、式 (2) は次の式 (3) になる。

v_{1} = \sqrt{2g(l − h_{1})}  (3)

さらに、幾何的に h_{1} = l(1 − cos θ) なので、

v_{1} = \sqrt{2gl cos θ}  (4)

となる。靴射出時のブランコ最下点からの水平距離 x_{1} は同様に幾何的に

x_{1} = l sin θ  (5)

3.2 靴を射出してから最高点に達するまで

靴を射出してから最高点に達するまでの時間を t_{2} とする。鉛直方向の速度について式 (6) が成り立つ。

v_{1} sin θ − gt_{2} = 0
t_{2} = \frac{v_{1} sin θ}{g}  (6)

水平方向に対しては等速運動であるため、式 (7) が成り立つ。

x_{2} = v_{1} cos θ · t_{2}
= \frac{v_{1}^{2} sin θ cos θ}{g}  (7)

靴が最高点に達したときの高さ h_{2} は式 (8) で表される。

h_{2} = h_{1} + v_{1} sin θ · t_{2} − \frac{1}{2}gt_{2}^{2}  (8)

3.3 靴が最高点に達してから地面に着地するまで

靴が最高点に達してから地面に着地するまでの時間を h_{3} とする。鉛直方向の高さについて式 (9) が成り立つ。

h_{2} − \frac{1}{2}gt_{3}^{2} = 0
t_{3} = \sqrt{\frac{2h_{2}}{g}}  (9)

水平方向に対しては等速運動であるため、式 (10) が成り立つ。

x_{3} = v_{1} cos θ · t_{3}
= v_{1} cos θ · \sqrt{\frac{2h_{2}}{g}}  (10)

3.4 ひたすら計算する

靴の飛距離は式 (11) で表される。

x = x_{1} + x_{2} + x_{3}  (11)

足し算する前に x_{2} と x_{3} の計算を進める。

式 (7) に式 (4) v_{1} = \sqrt{2gl cos θ} を代入する。

x_{2} = \frac{v_{1}^{2} sin θ cos θ}{g}

= \frac{2gl cos θ · sin θ cos θ}{g}

= \frac{2gl sin θ cos^{2} θ}{g}  (12)

式 (10) に式 (8) h_{2} = h_{1} + v_{1} sin θ · t_{2} − \frac{1}{2}gt_{2}^{2} を代入する。

x_{3} = v_{1} cos θ · \sqrt{\frac{2h_{2}}{g}}

= v_{1} cos θ · \sqrt{\frac{2(h_{1} + v_{1} sin θ · t_{2} − \frac{1}{2}gt_{2}^{2})}{g}}  (13)

式 (13) に式 (6) t_{2} = \frac{v_{1} sin θ}{g} を代入する。

x_{3} = v_{1} cos θ · \sqrt{\frac{2(h_{1} + v_{1} sin θ · t_{2} − \frac{1}{2}gt_{2}^{2})}{g}}

= v_{1} cos θ · \sqrt{\frac{2(h_{1} + v_{1} sin θ · \frac{v_{1} sin θ}{g} − \frac{1}{2}g \frac{v_{1}^{2} sin^{2} θ}{g^{2}} )}{g}}

= v_{1} cos θ · \sqrt{\frac{2(h_{1} + \frac{v_{1}^{2} sin^{2} θ}{g} − \frac{v_{1}^{2} sin^{2} θ}{2g})}{g}}

= v_{1} cos θ · \sqrt{\frac{2(h_{1} + \frac{v_{1}^{2} sin^{2} θ}{2g})}{g}}

= v_{1} cos θ · \frac{1}{g}\sqrt{2gh_{1} + v_{1}^{2} sin^{2} θ}  (14)

√ の中に h_{1} = l(1 − cos θ)、式 (4) v_{1} = \sqrt{2gl cos θ} を代入する。

x_{3} = v_{1} cos θ · \frac{1}{g}\sqrt{2gh_{1} + v_{1}^{2} sin^{2} θ}

= v_{1} cos θ · \frac{1}{g}\sqrt{2gl(1 − cos θ) + 2gl cos θ · sin^{2} θ}

= v_{1} cos θ · \frac{1}{g}\sqrt{2gl(1 − cos θ + cos θ · sin^{2} θ)}  (15)

√ の外にも式 (4) v_{1} = \sqrt{2gl cos θ} を代入する。

x_{3} = v_{1} cos θ · \frac{1}{g}\sqrt{2gl(1 − cos θ + cos θ · sin^{2} θ)}

= \sqrt{2gl cos θ} · cos θ · \frac{1}{g}\sqrt{2gl(1 − cos θ + cos θ · sin^{2} θ)}

= 2l cos θ\sqrt{cos θ · (1 − cos θ + cos θ · sin^{2} θ)}  (16)

3.5 飛距離の計算

式 (11) に x_{2}、 x_{3} を代入し、靴の飛距離を計算する。

x = x_{1} + x_{2} + x_{3}

= l sin θ + \frac{2gl sin θ cos^{2} θ}{g} + 2l cos θ\sqrt{cos θ · (1 − cos θ + cos θ · sin^{2} θ)}

= l [sin θ + \frac{2g sin θ cos^{2} θ}{g} + 2 cos θ\sqrt{cos θ · (1 − cos θ + cos θ · sin^{2} θ)}]  (17)

3.6 飛距離が最大となるブランコの振れ幅

式 (17) が最大となる θ はたぶん代数的に解けないので、数値計算で解く。ソフトウェアには Mac OS X 付属の Grapher を使用する。

グラフ上では式 (17) を l で割って無次元化している。また、ブランコの振れ幅を 0 < θ < \frac{π}{2} に制限しているため、 x = \frac{π}{2} のグラフを表示している。

結果として θ = 0.6296[rad]=36.29[deg] のとき、最大値 x = 3.2088l まで靴が飛ぶことが分かる。

4 結論

θ = 0.6296[rad]=36.29[deg] のとき、最大値 x = 3.2088l まで靴が飛ぶ。

図 2 ブランコの振れ幅 θ （グラフ上では横軸 x）と飛距離 x （グラフ上では縦軸 y）の関係

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