\documentclass[12pt]{jsarticle}
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\begin{document}

\section{問題}
　もし床に多数の平行線を引き、そこに針を落すならば、どれかの線と針が交差する確率はどのようになるか~\cite{buffon}。

\begin{figure}[htbp]
\begin{center}
	\includegraphics[width=13cm,clip]{fig-buffon.png}
\caption{平行線に落とした針}
\label{fig:buffon}
\end{center}
\end{figure}

\section{解答}
　平行線の間隔を$l$、落とす針の長さを$\frac{l}{2}$とする（NHKの題意から）。針と平行線が交わるときの角度を$\theta$とすると、平行線と垂直な方向に落とした針の射影は$\frac{l}{2}\sin \theta$となる。
　このとき針が平行線と重なる確率は式\eqref{eq:probability}で表される。
\begin{equation}
\frac{\frac{l}{2}\sin \theta}{l} \label{eq:probability}
\end{equation}
　式\eqref{eq:probability}を$0\leq \theta \leq \pi$の範囲で積分し、$\pi$で割ると角度$\theta$に対する平均の確率が求められる。
\begin{align}
&\frac{1}{\pi}\int _0 ^{\pi} \frac{\frac{l}{2}\sin \theta}{l} d\theta \notag \\
=&\frac{1}{2\pi}\int _0 ^{\pi} \sin \theta d\theta \notag \\
=&\frac{1}{2\pi} \left[- \cos \theta \right] _0 ^{\pi} \notag \\
=&\frac{1}{2\pi} \left \{ -(-1) -(-1)\right\} _0 ^{\pi} \notag \\
=&\frac{1}{\pi}
\end{align}

\begin{thebibliography}{1}
\bibitem{buffon}
	ビュフォンの針 - Wikipedia \quad http://ja.wikipedia.org/wiki/ビュフォンの針
\end{thebibliography}

\end{document}
