1 力のつり合いの式の立式

高さ方向に 1 次元の空間を考える。このとき高さ z と z + dz の間にある空気塊にかかる力の釣り合いを考える。

空気塊の下面にかかる圧力を P とすると、上面にかかる圧力はテイラー展開の 2 次以降の項を無視すると P + \frac{∂P}{∂z} dz となる。

一方、空気塊の密度を ρ とすると、質量は ρz となる。

力のつり合いから空気塊の上面と下面にかかる力の差は空気塊にかかる単位面積当たりの重力なので重力加速度を g とすると、式 (1) が成り立つ。

(P + \frac{∂P}{∂z} dz) − P + ρgdz = 0
\frac{∂P}{∂z} = −ρg  (1)

2 理想気体の状態方程式の変形

理想気体の状態方程式は式 (2) で表される。

P V = nRT  (2)

ここで V は理想気体の体積、 n は理想気体の物質量、 R は理想気体の気体定数、 T は理想気体の温度を示す。理想気体の分子の質量を m、理想気体の分子量を M とすると、理想気体の物質量 n は n = \frac{m}{M} となる。 これを式 (2) に代入すると式 (3) になる。

P V = \frac{m}{M} RT  (3)

ここで\frac{m}{V} = ρ、理想気体の気体定数を\frac{R}{V} = R^{∗} と置き直すと単位体積あたりの状態方程式 (4) になる。

P = ρR^{∗}T  (4)

3 力のつり合いの式の計算

空気を理想気体と仮定し、式 (4) を式 (1) に代入すると、式 (5) となる。

\frac{∂P}{∂z} = −\frac{P g}{R^{∗}T}  (5)

式 (5) を P について解く。ただし、気体の温度 T は高さによらないとする。厳密には温位 θ = const. として計算する必要があるが、めんどうなので温度で計算する。

\frac{dP}{P} = −\frac{gdz}{R^{∗}T}
∫ \frac{dP}{P} = −\frac{g}{R^{∗}T} ∫ dz
ln P = −\frac{gz}{R^{∗}T} + C

C は積分定数である。積分範囲は z = 0 から z = z までであり、 z = 0 のとき P = P_{0} （大気圧）なので

ln P − ln P_{0} = −\frac{gz}{R^{∗}T} − (−\frac{0}{R^{∗}T} )
P = P_{0} exp (−\frac{gz}{R^{∗}T} )

したがって標高 z が上がるにつれ、大気圧 P は指数関数で下がっていく。