1 問題

お椀状の器にパチンコ玉を入れ、加速度計として使用することを考える。パチンコ玉に加速度がかかり、玉がお椀の内側の斜面のある場所に移動する。お椀の中のパチンコ玉の位置を、お椀の底を原点 O とした円筒座標系 (r, ϕ, z) で表現する。加速度 a が r に比例するように目盛りをとり、その比例定数を k とする。このとき、お椀を原点 O を通過するように鉛直に切ったときの曲線を z = f(r) の形で表わせ。ただし、重力加速度を g とする。

2 物理的考察

質量 m のパチンコ玉がある場所にとどまっているとすると、そのパチンコ玉には重力 mg、慣性力 ma、お椀から受ける反力 N がかかり、力が釣り合っている。

このとき、ある場所でのお椀の斜面の傾き\frac{dz}{dr} は\frac{ma}{mg} に等しい。

\frac{dz}{dr} = \frac{a}{g}

これを a について解くと式 (1) となる。

a = g · \frac{dz}{dr}  (1)

一方、題意から式 (2) が成り立つ。

a = kr  (2)

3 恒等式

式 (1) と式 (2) を任意の r について成り立つ恒等式として考えると、式 (3) が成り立つ。

g · \frac{dz}{dr} = kr  (3)

式 (3) を z について解くと式 (4) となる。

z = \frac{k}{2g} · r^{2}  (4)

式 (4) が求める曲線の式である。