\documentclass[12pt]{jsarticle}
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\begin{document}

\section{問題}
ライプニッツの公式を示せ。
\begin{equation}
1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}- \dots = \frac{\pi}{4}
\end{equation}

\section{解答}
　以下の級数\eqref{eq:x}を考える。
\begin{equation}
\sum _{n=0}^{\infty} (-1)^n\cdot x^{2n} = 1-x^2+x^4-x^6+x^8- \dots \label{eq:x}
\end{equation}
　この級数は初項1、公比$-x^2$の無限級数なので$|x|<1$のとき、式\eqref{eq:x2}が成り立つ。
\begin{equation}
1-x^2+x^4-x^6+x^8- \dots = \frac{1}{1+x^2} \label{eq:x2}
\end{equation}
　両辺を$0\leq x \leq 1$の範囲で積分する。
\begin{align}
\int _0^1 \left( 1-x^2+x^4-x^6+x^8- \dots \right) dx &= \int _0^1 \frac{dx}{1+x^2} \notag \\
\left[ x-\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{5}x^5-\frac{1}{7}x^7+\frac{1}{9}x^9- \dots \right] _0^1 &= \int _0 ^{\pi/4} \frac{1}{1+\tan ^2 \theta }\cdot \frac{d\theta}{\cos ^2 \theta}\notag \\
1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}- \dots &= \int _0 ^{\pi/4} d\theta \notag \\
 &=\frac{\pi}{4} \notag
\end{align}
　式の途中で$x = \tan \theta$とおき、$\displaystyle dx = \frac{d\theta }{\cos ^2 \theta }$、積分範囲を$0\leq \theta \leq \pi /4$とした。また、三角関数の公式$\displaystyle 1+\tan ^2 \theta = \frac{1}{\cos ^2 \theta}$を用いた。
\end{document}
