1 問題

下記の漸化式で示されるフィボナッチ数列の隣接二項間の比は n → +∞ のとき黄金比 ϕ = \frac{1 +\sqrt{5}}{2} となることを示せ。

a_{n+2} = a_{n+1} + a_{n} , a_{1} = a_{2} = 1  (1)

2 方針

バカ正直にフィボナッチ数列の一般項を計算し、バカ正直に隣接二項間の比をとり、バカ正直に極限をとる。

3 特性方程式を解く

与式は隣接三項間漸化式なので a_{n+2} = x^{2}, a_{n+1} = x, a_{n} = 1 とおいて特性方程式を解く。

x^{2} = x + 1 x^{2} − x − 1 = 0

x = \frac{1 ±\sqrt{5}}{2}

ここで正の解を α、負の解を β とおく。

α = \frac{1 +\sqrt{5}}{2}, β = \frac{1 −\sqrt{5}}{2}

このとき α = ϕ = \frac{1 +\sqrt{5}}{2} であり、 β については

β = \frac{1 −\sqrt{5}}{2} = \frac{1 −\sqrt{5}}{2} · \frac{1 +\sqrt{5}}{1 +\sqrt{5}} = −\frac{2}{1 +\sqrt{5}} = −ϕ^{−1}

である。

また二次方程式の解と係数の関係より以下が成り立つ。 α + β = 1 , αβ = −1

4 漸化式を解く

特性方程式の解 α と β を用いて式 (1) を式変形する。

a_{n+2} − αa_{n+1} = β (a_{n+1} − αa_{n})  (2)
a_{n+2} − βa_{n+1} = α (a_{n+1} − βa_{n})  (3)

式 (2) を式変形する。

a_{n+2} − αa_{n+1} = β (a_{n+1} − αa_{n})

= β^{2} (a_{n} − αa_{n−1}) ⋮ = β^{n} (a_{2} − αa_{1})

= β^{n+1}  (4)

同様に式 (3) についても以下が成り立つ。

a_{n+2} − βa_{n+1} = α^{n+1}  (5)

式 (5) から式 (4) を両辺引き算する。

a_{n+1} = \frac{α^{n+1} − β^{n+1}}{α − β}
a_{n} = \frac{α^{n} − β^{n}}{α − β}  (6)

5 フィボナッチ数列の一般項を求める

α − β = \frac{1 +\sqrt{5}}{2} − \frac{1 −\sqrt{5}}{2} =\sqrt{5} なのでフィボナッチ数列の一般項は以下で示される。

a_{n} =\frac{1}{\sqrt{5}} \{(\frac{1 +\sqrt{5}}{2})^{n} − (\frac{1 −\sqrt{5}}{2})^{n}\}

また黄金比 ϕ = \frac{1 +\sqrt{5}}{2} を用いて示すと次の通りである。

a_{n} =\frac{1}{\sqrt{5}} \{ϕ^{n} − (−ϕ)^{−n}\}

6 隣接二項間の比の極限を求める

式 (6) から隣接二項間の比を式変形する。分子分母を α^{n} で割る。

\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{α^{n+1} − β^{n+1}}{α^{n} − β^{n}}

= \frac{α − β · (\frac{β}{α})^{n}}{1 − (\frac{β}{α})^{n}}

ここで|\frac{β}{α}| = |\frac{1 −\sqrt{5}}{1 +\sqrt{5}}| < 1 なので、 n → +∞ のとき lim_{n→+∞} (\frac{β}{α}) = 0。

したがって隣接二項間の比の極限は黄金比と等しい。

lim_{n→+∞} \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{α − β · 0}{1 − 0} = α = ϕ = \frac{1 +\sqrt{5}}{2}

付録 A 確かめ算

式 (6) を用いて n = 1 から n = 5 まで確かめ算を行なう。

A.1 n = 1 のとき

a_{1} = \frac{α^{1} − β^{1}}{α − β} = 1

A.2 n = 2 のとき

a_{2} = \frac{α^{2} − β^{2}}{α − β} = \frac{(α − β)(α + β)}{α − β} = α + β = 1

A.3 n = 3 のとき

a_{3} = \frac{α^{3} − β^{3}}{α − β} = \frac{(α − β)(α^{2} + αβ + β^{2})}{α − β} = α^{2} +αβ +β^{2} = (α+β)^{2} −αβ = 1^{2} +1 = 2

A.4 n = 4 のとき

a_{4} = \frac{α^{4} − β^{4}}{α − β}

= \frac{(α − β)(α^{3} + α^{2}β + αβ^{2} + β^{3})}{α − β}

= α^{3} + α^{2}β + αβ^{2} + β^{3} = (α + β)^{3} − 2αβ(α + β) = 1^{3} − 2 · (−1) · 1 = 3

A.5 n = 5 のとき

a_{5} = \frac{α^{5} − β^{5}}{α − β}

= \frac{(α − β)(α^{4} + α^{3}β + α^{2}β^{2} + αβ^{3} + β^{4})}{α − β}

= α^{4} + α^{3}β + α^{2}β^{2} + αβ^{3} + β^{4} = (α + β)^{4} − 3αβ(α^{2} + β^{2}) − 5(αβ)^{2} = (α + β)^{4} − 3αβ {(α + β)^{2} − 2αβ} − 5(αβ)^{2} = 1^{4} − 3 · (−1) · {1^{2} − 2 · (−1)} − 5 · (−1)^{2} = 1 + 9 − 5 = 5